DISTRIBUCIÓN BINOMIAL-
Considera un experimento en el cual tienes predeterminado un número de ensayos a realizar, si en cada caso los ensayo se realiza de manera independiente y la probabilidad de éxito no cambia, la Variable Aleatoria que cuenta el número de éxitos en tu experimento es una Variable Aleatoria con distribución Binomial
Una de las distribuciones de probabilidades discretas más utilizadas es la distribución Binomial, conocida también como proceso de Bernoulli (en honor al matemático Suizo Jacob Bernoulli -s. XVII).
Esta distribución se aplica a una variable aleatoria que puede tomar únicamente dos valores. En genera!, las características que determinan este modelo son:
1. Cada prueba debe tener sólo dos resultados posibles: éxito ó fracaso.
2. La probabilidad de acierto en cada prueba permanece constante.
3. Las pruebas son estadística mente independientes.
4. La prueba se realiza en un número fijo de veces.
Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso en un solo intento (llamada probabilidad de éxito) y q=1-p es la probabilidad de que no ocurra en un solo intento (llamada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el suceso ocurra exactamente r veces en n intentos (o sea r exitos y n-r fracasos) viene dada por
Fórmula de Cálculo
Donde: P(r/np) = se lee: probabilidad binomial de r/np.
r = valor de la variable (o número deseado de aciertos)
p = Probabilidad de éxito
q = Probabilidad de fallar (q=l-p)
n = Número de pruebas'
n! = Factorial de n. Se calcula como sigue:
n! = n! = n (n-1) (n-2)............. 1 (3! = 3* 2*1 3! = 6)
Ejemplos 1:
a) En el experimento de lanzar una moneda por 3 veces, ¿cual será la probabilidad de obtener 2 caras?
Solución: S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS)
Procedimiento
1. Se define la variable y los valores que puede tomar su recorrido
r= numero de caras en tres lanzamientos de una moneda. r=0, 1, 2, 3
2. Identificar sus elementos y sus valores de acuerdo a la formula de calculo
n=3 ; r=2 ; p=0,5 ; q=1-0,5=0,5
3. Utilizamos la formula y remplazamos los datos
El resultado de 0,375 indica que hay una probabilidad de 0,375 de obtener dos caras, habiendo lanzado tres veces la moneda. esto significa que si efectuamos un gran numero de veces el experimento de lanzar tres veces una moneda, se espera que el 37,5% de las veces se obtendrán dos caras.
Ejemplo 2:
b) ¿Cual es la probabilidad de obtener 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda?
Solución:
Procedimiento
1. Se define la variable y los valores que tomara el recorrido
r=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
2. Identificar los elementos requeridos
n=6, r= 2, p=q=1/2
3. Utilizamos la formula y remplazamos los datos
El resultado de 0,234 indica que hay una probabilidad de 0,234 de obtener dos caras, habiendo lanzado seis veces la moneda. esto significa que si efectuamos un gran numero de veces el experimento de lanzar seis veces una moneda, se espera que el 23,4% de las veces se obtendrán dos caras
Ejemplo 3:
La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 tiradas de una moneda es.
Solución:
Procedimiento
1. Se define la variable y los valores que tomara el recorrido
r=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
2. Identificar los elementos requeridos
n=6, r= 4, 5, 6 ; p=q=1/2
3. Utilizamos la formula y remplazamos los datos
La distribución de probabilidad discreta se llama distribución binomial porque para r=0, 1, 2, ….n corresponde a términos sucesivos de la formula binomial, o desarrollo del binomio
El resultado de 0,344 indica que hay una probabilidad de 0,344 de obtener al menos cuatro caras, habiendo lanzado seis veces la moneda. esto significa que si efectuamos un gran numero de veces el experimento de lanzar seis veces una moneda, se espera que el 34,4% de las veces se obtendrán al menos cuatro caras
Ejemplo 4:
Un estudiante se presenta a una prueba de selección múltiple que contiene cinco preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el estudiante no esta convenientemente preparado y esta adivinando, además sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente cuatro o mas preguntas, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante pueda aprobar la prueba?
Solución:
Procedimiento
1. Se define la variable y los valores que tomara el recorrido
r=0, 1, 2, 3, 4, 5
2. Identificar los elementos requeridos
n=5, r= 4, 5 ; p=1/3 ; q=2/3
3. Utilizamos la formula y remplazamos los datos
La distribución de probabilidad discreta se llama distribución binomial porque para r=0, 1, 2, ….n corresponde a términos sucesivos de la formula binomial, o desarrollo del binomio
P(r/np)=0,04115+0,00412=0,05
El resultado de 0,05 indica que hay una probabilidad de 0,05 de que el estudiante pueda aprobar la prueba, habiendo respondido cuatro o mas preguntas. esto significa que si efectuamos un gran numero de veces el experimento, se espera que el 5,0% de las veces responderá cuatro o mas preguntas
Ejemplo 5
En la Carrera de Sistemas, varios estudiantes suelen llegar tarde. Cinco alumnos están en Primer semestre. El docente de Estadística a estudiado la situación durante cierto periodo y a determinado que hay una probabilidad de 0,4 de que cualquier estudiante llegue tarde y que las llegadas de los estudiantes son independientes entre si. ¿Cómo podríamos trazar una distribución binomial de probabilidades que ejemplifique las probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4 o 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente?
Efectuaremos los cálculos separados de r, de cero hasta cinco
p = 0,4
q = 0,6
n = 5
Para r=0 tendremos
Para r=1 tendremos
Para r=2 tendremos
Para r=3 tendremos
Para r=4 tendremos
Para r=5 tendremos
Mostraremos de una manera grafica la distribución binomial
En cada caso en la figura p y q han sido cambiados y se especifican al lado de cada distribución. A partir de esta situación podemos realizar las siguientes generalizaciones.
Ø Cuando p es pequeña (0,1), la distribución binomial esta sesgada a la derecha
Ø Conforme p aumenta(a 0,3 por ejemplo), el sesgo es menos notable
Ø Cuando p = 0,5, la distribución binomial es simétrica
Ø Cuando p > 0,5 la distribución esta sesgada hacia la izquierda
Ø Las probabilidades para 0,3 por ejemplo, son las mismas para 0,7 excepto que los valores de p y q están invertidos. Esto es cierto para cada pareja de valores p y q complementarios (0,3 y 0,7 – 0,4 y 0,6 – 0,2 y 0,8)
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